Talsystemer

Et talsystem er et sæt regler for at repræsentere tal ved hjælp af forskellige numeriske tegn. Talsystemer er klassificeret i to typer: ikke-positionelle og positionelle.

I positionstalsystemer afhænger værdien af ​​hvert ciffer ikke af den position, det indtager, det vil sige af den plads, det indtager i ciffersættet. I det romerske talsystem er der kun syv cifre: et (I), fem (V), ti (X), halvtreds (L), hundrede (C), fem hundrede (D), tusind (M). Ved at bruge disse tal (symboler) skrives de resterende tal ved addition og subtraktion. For eksempel er IV notationen af ​​tallet 4 (V — I), VI er tallet 6 (V + I), og så videre. Tallet 666 er skrevet i det romerske system som følger: DCLXVI.

Denne notation er mindre praktisk end den, vi bruger i øjeblikket. Her er seks skrevet med et symbol (VI), seks tiere med et andet (LX), seks hundrede og tredje (DC). Det er meget vanskeligt at udføre aritmetiske operationer med tal skrevet i det romerske talsystem. En fælles ulempe ved ikke-positionelle systemer er også kompleksiteten ved at repræsentere store nok tal i dem til at resultere i ekstremt besværlig notation.

Overvej nu det samme nummer 666 i positionsnummersystemet. I den betyder et enkelt tegn 6 antallet af enere, hvis det er på den sidste plads, antallet af tiere, hvis det er på næstsidste plads, og antallet af hundreder, hvis det er på tredjepladsen fra slutningen. Dette princip med at skrive tal kaldes positionelle (lokale). I en sådan optagelse modtager hvert ciffer en numerisk værdi, der ikke kun afhænger af dens stil, men også af, hvor den står, når tallet skrives.

I positionstalsystemet kan ethvert tal repræsenteret som A = +a1a2a3 … ann-1an repræsenteres som en sum

hvor n — endeligt antal cifre i billedet af et tal, ii nummer i-go ciffer, d — talsystemets grundtal, i — kategoriens ordensnummer, dm-i — "vægt" af i-ro kategorien . Cifrene ai skal opfylde uligheden 0 <= a <= (d — 1).

For decimalnotation er d = 10 og ai = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Da tal bestående af enere og nuller kan opfattes som decimale eller binære tal, når de bruges sammen, angives bunden af ​​talsystemet normalt, for eksempel (1100)2-binær, (1100)10-decimal.

I digitale computere er andre systemer end decimal udbredt: binære, oktale og hexadecimale.

Binært system

For dette system er d = 2, og her er kun to cifre tilladt, dvs. ai = 0 eller 1.

Ethvert tal udtrykt i det binære system er repræsenteret som summen af ​​produktet af grundstyrken to gange det binære ciffer i den givne bit. Eksempelvis kan tallet 101,01 skrives således: 101,01 = 1×22 + 0x21 + 1×20 + 0x2-1 + 1×2-2, hvilket svarer til tallet i decimalsystemet: 4 + 1 + 0,25 = 5,25.

I de fleste moderne digitale computere bruges det binære talsystem til at repræsentere tal i en maskine og udføre aritmetiske operationer på dem.

Det binære talsystem, sammenlignet med decimalsystemet, gør det muligt at forenkle kredsløbene og kredsløbene i den aritmetiske enhed og hukommelsesenheden og at øge pålideligheden af ​​computeren. Cifferet i hver bit af et binært tal er repræsenteret af «tænd/sluk»-tilstande af sådanne elementer som transistorer, dioder, som fungerer pålideligt i «tænd/sluk»-tilstande. Ulemperne ved det binære system omfatter behovet for at oversætte de originale digitale data til det binære talsystem i henhold til et specielt program og resultaterne af beslutningen til decimaler.

Oktalt talsystem

Dette system har grundtallet d == 8. Tal bruges til at repræsentere tal: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Det oktale talsystem bruges i computeren som en hjælp til at forberede problemer til løsning (i programmeringsprocessen), til at kontrollere driften af ​​en maskine og til at fejlfinde et program. Dette system giver en kortere repræsentation af tallet end det binære system. Det oktale talsystem giver dig mulighed for blot at skifte til det binære system.

Hexadecimalt talsystem

Dette system har basis d = 16. 16 tegn bruges til at repræsentere tal: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F og tegnene A … F repræsenterer decimaltallene 10, 11, 12, 13, 14 og 15. Det hexadecimale tal (1D4F) 18 vil svare til decimaltallet 7503, fordi (1D4F)18 = 1 x163 + 13 x 162 + 14 x 161 15 x 160 = (7503)10

Hexadecimal notation gør det muligt at skrive binære tal mere kompakt end oktale. Den finder anvendelse i input- og outputenheder og nummerrækkefølgevisningsenheder på nogle computere.

Binært-decimalt talsystem

Repræsentationen af ​​tal i binært-decimalsystem er som følger. Decimalnotationen af ​​tallet tages som grundlag, og derefter skrives hvert af dets cifre (fra 0 til 9) i form af et firecifret binært tal kaldet en tetrad, det vil sige, at der ikke bruges et tegn til at repræsentere hvert ciffer i decimalsystemet, men fire.

For eksempel ville decimaltallet 647,59 svare til BCD 0110 0100 0111, 0101 1001.

Det binære-decimale talsystem bruges som et mellemtalssystem og til indkodning af input- og outputtal.

Regler for overførsel af et nummersystem til et andet

Udvekslingen af ​​information mellem computerenheder udføres hovedsageligt gennem tal repræsenteret i det binære talsystem. Informationer præsenteres dog for brugeren i tal i decimalsystemet, og kommandoadressering præsenteres i det oktale system. Derfor er det nødvendigt at overføre numre fra et system til et andet i processen med at arbejde med en computer. For at gøre dette skal du bruge følgende generelle regel.

For at konvertere et helt tal fra et hvilket som helst talsystem til et andet, er det nødvendigt successivt at dividere dette tal med bunden af ​​det nye system, indtil kvotienten ikke er mindre end divisoren. Tallet i det nye system skal skrives i form af rester af division, begyndende med det sidste, det vil sige fra højre mod venstre.

Lad os for eksempel konvertere decimalen 1987 til binær:

Decimaltallet 1987 i binært format er 11111000011, dvs. (1987)10 = (11111000011)2

Når du skifter fra et hvilket som helst system til decimal, er tallet repræsenteret som summen af ​​basens potenser med de tilsvarende koefficienter, og derefter beregnes værdien af ​​summen.

Lad os for eksempel konvertere oktaltal 123 til decimaltal: (123)8 = 1 x 82 + 2 x 81 + 3 x 80 = 64 + 16 + 3 = 83, dvs. (123)8 = (83)10

For at overføre brøkdelen af ​​et tal fra ethvert system til et andet, er det nødvendigt at udføre successiv multiplikation af denne brøkdel og de resulterende brøkdele af produktet baseret på det nye talsystem. Brøkdelen af ​​et tal i det nye system er dannet i form af hele dele af de resulterende produkter, startende fra det første. Multiplikationsprocessen fortsætter, indtil et tal med en given præcision er beregnet.

Lad os for eksempel konvertere decimalbrøken 0,65625 til det binære talsystem:

Da brøkdelen af ​​det femte produkt kun består af nuller, er yderligere multiplikation unødvendig. Det betyder, at den givne decimal konverteres til binær uden fejl, dvs. (0,65625)10 = (0,10101)2.

Konvertering fra oktal og hexadecimal til binær og omvendt er ikke svært. Dette skyldes, at deres baser (d — 8 og d — 16) svarer til heltal på to (23 = 8 og 24 = 16).

For at konvertere oktale eller hexadecimale tal til binære tal, er det nok at erstatte hvert af deres tal med henholdsvis et tre- eller firecifret binært tal.

Lad os for eksempel oversætte det oktale tal (571)8 og det hexadecimale tal (179)16 til det binære talsystem.

I begge tilfælde får vi det samme resultat, dvs. (571)8 = (179)16 = (101111001)2

For at konvertere et tal fra binær decimal til decimal, skal du erstatte hver tetrad af tallet repræsenteret i binær decimal med et ciffer repræsenteret i decimal.

Lad os for eksempel skrive tallet (0010 0001 1000, 0110 0001 0110)2-10 i decimalnotation, dvs. (0010 0001 1000, 0110 0001 0110)2-10 = (218.625)