Biot-Savart-loven og sætningen om cirkulationen af ​​den magnetiske induktionsvektor

I 1820 fastslog de franske videnskabsmænd Jean-Baptiste Biot og Félix Savard, i løbet af fælles eksperimenter for at studere de magnetiske felter af jævnstrøm, utvetydigt, at den magnetiske induktion af en jævnstrøm, der flyder gennem en leder, kan betragtes som resultatet af generel virkning af alle sektioner af denne ledning med strøm. Det betyder, at magnetfeltet adlyder superpositionsprincippet (princippet om superposition af felter).

Det magnetiske felt skabt af en gruppe DC-ledninger har følgende magnetisk induktionat dens værdi er defineret som vektorsummen af ​​de magnetiske induktioner skabt af hver leder separat. Det vil sige, at induktionen B af jævnstrømslederen retfærdigt kan repræsenteres af vektorsummen af ​​de elementære induktioner dB, der tilhører de elementære sektioner dl af den betragtede jævnstrømsleder I.

Det er praktisk talt urealistisk at isolere en elementær del af en jævnstrømsleder, fordi D.C. altid lukket.Men du kan måle den totale magnetiske induktion skabt af en ledning, det vil sige genereret af alle de elementære dele af en given ledning.

Således giver Biot-Sovars lov dig mulighed for at finde værdien af ​​den magnetiske induktion B af sektionen (kendt længde dl) af lederen, med en given jævnstrøm I, i en vis afstand r fra denne sektion af lederen og i en bestemt observationsretning fra den valgte sektion (indstillet gennem sinus af vinklen mellem strømmens retning og retningen fra sektionen af ​​lederen til det undersøgte punkt i rummet nær lederen):

Det blev eksperimentelt fastslået, at retningen af ​​den magnetiske induktionsvektor let bestemmes af den højre skrue eller kardanskrue: hvis retningen af ​​translationel bevægelse af kardan under dens rotation falder sammen med retningen af ​​jævnstrøm I i ledningen, så omdrejningsretning af kardanhåndtaget bestemmer retningen af ​​den magnetiske induktionsvektor B produceret af en given strøm.

Magnetfeltet af en lige strømførende ledning samt en illustration af anvendelsen af ​​Bio-Savarts lov på den er vist på figuren:

Så hvis vi integrerer, det vil sige tilføjer bidraget fra hver af de små sektioner af en konstant strømleder til det samlede magnetfelt, får vi en formel til at finde den magnetiske induktion af en strømleder ved en bestemt radius R fra den .

På samme måde kan du ved hjælp af Bio-Savards lov beregne de magnetiske induktioner ud fra jævnstrømme af forskellige konfigurationer og på bestemte punkter i rummet, f.eks. findes den magnetiske induktion i midten af ​​et cirkulært kredsløb med en strøm af følgende formel:

Retningen af ​​den magnetiske induktionsvektor er let at finde i henhold til kardansk reglen, kun nu skal kardanen drejes i retning af den lukkede strøm, og kardanens fremadgående bevægelse vil vise retningen af ​​den magnetiske induktionsvektor.

Ofte kan beregninger med hensyn til magnetfeltet forenkles, hvis vi tager højde for symmetrien af ​​konfigurationen af ​​strømme givet af det genererende felt. Her kan du bruge sætningen om den magnetiske induktionsvektors cirkulation (som Gauss-sætningen i elektrostatik). Hvad er «cirkulation af den magnetiske induktionsvektor»?

Lad os i rummet vælge en bestemt lukket sløjfe af vilkårlig form og betinget angive den positive retning af dens vandring.For hvert punkt i denne sløjfe kan du finde projektionen af ​​den magnetiske induktionsvektor B på tangenten til sløjfen på det punkt. Så er summen af ​​produkterne af disse mængder ved de elementære længder af alle sektioner af konturen cirkulationen af ​​den magnetiske induktionsvektor B langs denne kontur:

Praktisk talt alle de strømme, der skaber et generelt magnetfelt her, kan enten trænge ind i det pågældende kredsløb, eller nogle af dem kan være uden for det. Ifølge cirkulationssætningen: cirkulationen af ​​den magnetiske induktionsvektor B af jævnstrøm i en lukket sløjfe er numerisk lig med produktet af den magnetiske konstant mu0 med summen af ​​alle jævnstrømme, der trænger ind i sløjfen. Denne teorem blev formuleret af Andre Marie Ampere i 1826:

Overvej figuren ovenfor. Her trænger strømmene I1 og I2 gennem kredsløbet, men de er rettet i forskellige retninger, hvilket betyder, at de har betinget forskellige fortegn.Det positive tegn vil have en strøm, hvis retning af magnetisk induktion (i henhold til den grundlæggende regel) falder sammen med retningen af ​​omløbet af det valgte kredsløb. For denne situation har cirkulationssætningen formen:

Generelt følger sætningen for cirkulationen af ​​den magnetiske induktionsvektor B af magnetfelts superpositionsprincippet og Biot-Savard-loven.

For eksempel udleder vi formlen for magnetisk induktion af en jævnstrømsleder. Lad os vælge en kontur i form af en cirkel, gennem midten af ​​hvilken denne ledning passerer, og ledningen er vinkelret på konturens plan.

Cirklens centrum ligger således direkte i lederens centrum, det vil sige i lederen. Da billedet er symmetrisk, er vektoren B rettet tangentielt til cirklen, og dens projektion på tangenten er derfor den samme overalt og er lig med længden af ​​vektoren B. Cirkulationssætningen er skrevet som følger:

Derfor følger formlen for magnetisk induktion af en lige leder med jævnstrøm (denne formel er allerede givet ovenfor). På samme måde kan man ved hjælp af cirkulationssætningen nemt finde de magnetiske induktioner af symmetriske DC-konfigurationer, hvor billedet af feltlinjerne er let at visualisere.

Et af de praktisk vigtige eksempler på anvendelsen af ​​cirkulationssætningen er at finde magnetfeltet inde i en toroidal induktor.

Antag, at der er en ringformet spole viklet rundt-til-runde på en doughnut-formet papramme med antallet af vindinger N. I denne konfiguration er de magnetiske induktionslinjer indesluttet inde i donuten og er koncentriske (inden for hinanden) cirkler i form .

Hvis du kigger i retning af den magnetiske induktionsvektor langs den indre akse af donuten, viser det sig, at strømmen er rettet overalt med uret (ifølge kardanreglen). Overvej en af ​​linjerne (vist med rødt) af magnetisk induktion inde i spolen og vælg den som en cirkulær sløjfe med radius r. Så skrives cirkulationssætningen for et givet kredsløb som følger:

Og den magnetiske induktion af feltet inde i spolen vil være lig med:

For en tynd toroidal spole, hvor magnetfeltet er næsten ensartet over hele dets tværsnit, er det muligt at skrive udtrykket for den magnetiske induktion, som for en uendelig lang solenoide, under hensyntagen til antallet af vindinger pr. længdeenhed — n :

Overvej nu en uendelig lang solenoide, hvor magnetfeltet er helt inde. Vi anvender cirkulationssætningen på den valgte rektangulære kontur.

Her vil den magnetiske induktionsvektor kun give en ikke-nul projektion på side 2 (dens længde er lig med L). Ved at bruge parameteren n — «antallet af vindinger pr. længdeenhed» får vi en sådan form af cirkulationssætningen, som i sidste ende reduceres til samme form som for en multitonCoy toroidal spole: