Hvorfor komplekse tal bruges til beregninger i AC-kredsløb

Som du ved, bruges komplekse tal til at løse nogle typiske problemer inden for elektroteknik. Men hvad bruges de til, og hvorfor gøres det på denne måde? Dette er, hvad vi vil forsøge at forstå i løbet af denne artikel. Faktum er, at den komplekse metode eller metoden med komplekse amplituder er praktisk til beregning af komplekse AC-kredsløb. Og til at begynde med, lad os huske nogle grundlæggende matematik:

Som du kan se, inkluderer det komplekse tal z den imaginære del og den reelle del, som adskiller sig fra hinanden og er angivet forskelligt i teksten. Selve det komplekse tal z kan skrives i algebraisk, trigonometrisk eller eksponentiel form:

Historisk baggrund

Det menes, at ideen om imaginære tal begyndte i 1545, da den italienske matematiker, ingeniør, filosof, læge og astrolog Girolamo Cardano offentliggjorde denne metode til at løse ligninger i sin afhandling "Den Store Kunst", hvor der ifølge bl.a. , indrømmede han, at Niccolò havde givet ham ideen til Tartaglia (en italiensk matematiker) 6 år før udgivelsen af ​​dette værk. I sit arbejde løser Kradano ligninger af formen:

I processen med at løse disse ligninger blev videnskabsmanden tvunget til at indrømme eksistensen af ​​et eller andet «uvirkeligt» tal, hvis kvadrat vil være lig med minus én «-1», det vil sige som om der er en kvadratrod af en negativt tal, og hvis det nu er kvadreret, vil det vise sig at være det tilsvarende negative tal under roden. Cardano erklærede multiplikationsreglen, ifølge hvilken:

I tre århundreder var det matematiske samfund i færd med at vænne sig til den nye tilgang foreslået af Cardano. Imaginære tal slår gradvist rod, men matematikere er tilbageholdende med at acceptere. Det var ikke før udgivelsen af ​​Gauss' værker om algebra, hvor han beviste algebras grundlæggende sætning, at komplekse tal endelig blev fuldt ud accepteret, det 19. århundrede var ved hånden.

Imaginære tal blev en reel livredder for matematikere, fordi de mest komplekse problemer blev meget lettere at løse ved at acceptere eksistensen af ​​imaginære tal.

Så det kom hurtigt til elektroteknik. AC-kredsløb var nogle gange meget komplekse, og mange integraler skulle beregnes for at beregne dem, hvilket ofte var meget ubelejligt.

Endelig, i 1893, talte den geniale elektroingeniør Carl August Steinmetz i Chicago ved den internationale elektrotekniske kongres med en rapport "Komplekse tal og deres anvendelse i elektroteknik", som faktisk markerede begyndelsen på ingeniørernes praktiske anvendelse af den komplekse metode. beregning af elektriske kredsløb for vekselstrøm.

Det ved vi fra fysikkurset vekselstrøm — dette er en strøm, der ændrer sig over tid i både størrelse og retning.

Inden for teknologien findes der forskellige former for vekselstrøm, men den mest almindelige i dag er sinusformet vekselstrøm, det er den der bruges overalt, ved hjælp af hvilken der transmitteres elektricitet, i form af vekselstrøm, som genereres, omdannes vha. transformere og forbruges af belastninger. En sinusformet strøm ændrer sig periodisk i henhold til en sinusformet (harmonisk) lov.

De effektive værdier af strøm og spænding er mindre end amplitudeværdierne af roden af ​​to gange:

I den komplekse metode er de effektive værdier af strømme og spændinger skrevet som følger:

Bemærk, at i elektroteknik er den imaginære enhed betegnet med bogstavet «j», da bogstavet «i» allerede bruges her til at betegne strøm.

Fra Ohms lov bestemmer den komplekse værdi af modstanden:

Addition og subtraktion af komplekse værdier sker i algebraisk form, og multiplikation og division i eksponentiel form.

Lad os overveje metoden til komplekse amplituder ved at bruge eksemplet på et specifikt kredsløb med visse værdier af hovedparametrene.

Et eksempel på løsning af et problem ved hjælp af komplekse tal

Givet:

• spolespænding 50 V,

• modstand modstand 25 Ohm,

• spoleinduktans 500 mH,

• kondensatorens elektriske kapacitet er 30 mikrofarad,

• spolemodstand 10 Ohm,

• netfrekvens 50 Hz.

Find: amperemeter- og voltmeteraflæsninger samt wattmeter.

Svar:

Til at begynde med nedskriver vi den komplekse modstand af serieforbundne elementer, som består af reelle og imaginære dele, derefter finder vi den komplekse modstand af et aktivt-induktivt element.

Husker! For at få den eksponentielle form, find modulet z lig med kvadratroden af ​​summen af ​​kvadraterne af de reelle og imaginære dele, og phi lig med arctangensen af ​​kvotienten af ​​den imaginære del divideret med den reelle del.

Så finder vi strømmen og følgelig aflæsningerne af amperemeteret:

Så amperemeteret viser en strøm på 0,317 A - det er strømmen gennem hele seriekredsløbet.

Nu finder vi kondensatorens kapacitive modstand, så bestemmer vi dens komplekse modstand:

Vi beregner derefter den samlede komplekse impedans af dette kredsløb:

Nu finder vi den effektive spænding påført kredsløbet:

Voltmeteret vil vise en effektiv spænding på 19,5 volt.

Til sidst finder vi den effekt, som wattmåleren vil vise, under hensyntagen til faseforskellen mellem strøm og spænding

Wattmåleren vil vise 3,51 watt.

Nu forstår du, hvor vigtige komplekse tal er i elektroteknik. De bruges til bekvem beregning af elektriske kredsløb. Mange elektroniske måleapparater arbejder på samme grundlag.