Love of Contact Circuit Algebra, Boolean Algebra

En analytisk registrering af strukturen og driftsbetingelserne for relækredsløb gør det muligt at udføre analytiske ækvivalente transformationer af kredsløb, det vil sige ved at transformere strukturelle formler, finde skemaer, der ligner deres drift. Konverteringsmetoder er specielt fuldt udviklede til strukturformler, der udtrykker kontaktkredsløb.

Til kontaktkredsløb bruges det matematiske apparat i logikkens algebra, mere præcist, en af ​​dens simpleste varianter, kaldet propositionskalkyle eller boolsk algebra (efter matematikeren i forrige århundrede J. Boole).

Propositionsregningen blev oprindeligt udviklet til at studere afhængigheden (sandheden eller falskheden af ​​komplekse domme om sandheden eller falskheden af ​​de simple påstande, der udgør dem. I bund og grund er propositionsregningen en algebra af to tal, det vil sige en algebra i hvor hvert enkelt argument og hver funktion kan have en af ​​to værdier.

Dette bestemmer muligheden for at bruge boolsk algebra til at transformere kontaktkredsløb, da hvert af argumenterne (kontakter), der er inkluderet i strukturformlen, kun kan have to værdier, det vil sige, det kan være lukket eller åbent, og hele funktionen repræsenteret af den strukturelle formlen kan udtrykke enten en lukket eller en åben sløjfe.

Boolesk algebra introducerer:

1) objekter, der, som i almindelig algebra, har navne: uafhængige variabler og funktioner - men i modsætning til almindelig algebra kan begge i boolsk algebra kun have to værdier: 0 og 1;

2) grundlæggende logiske operationer:

• logisk addition (eller disjunktion, logisk ELLER, betegnet med tegnet ?), som defineres som følger: resultatet af operationen er 0, hvis og kun hvis alle operationens argumenter er lig med 0, ellers er resultatet 1;

• logisk multiplikation (eller sammenkædning, logisk OG, betegnet med ?, eller slet ikke specificeret), som defineres som følger: resultatet af operationen er 1, hvis og kun hvis alle operationens argumenter er lig med 1, ellers resultatet er 0;

• negation (eller omvendt, logisk NOT, angivet med en streg over argumentet), som er defineret som følger: resultatet af operationen har den modsatte værdi af argumentet;

3) aksiomer (boolsk algebras love), som definerer reglerne for transformation af logiske udtryk.

Bemærk, at hver af de logiske operationer kan udføres både på variabler og på funktioner, som vil blive kaldt boolske funktioner nedenfor... Husk, at analogt med almindelig algebra, i boolsk algebra, har operationen af ​​logisk multiplikation forrang over den logiske tilføjelsesoperation.

Boolske udtryk dannes ved at kombinere logiske operationer på en række objekter (variabler eller funktioner), kaldet operationens argumenter.

Transformationen af ​​logiske udtryk ved hjælp af lovene i boolsk algebra udføres normalt med det formål at minimere, fordi jo enklere udtrykket er, jo mindre kompleksiteten af ​​den logiske kæde, som er den tekniske implementering af det logiske udtryk.

Lovene for boolsk algebra præsenteres som et sæt af aksiomer og konsekvenser. Disse kan kontrolleres ganske enkelt ved at erstatte forskellige værdier af variablerne.

Den tekniske analog af ethvert logisk udtryk for en boolsk funktion er et logisk diagram... I dette tilfælde er de variable, som en boolsk funktion afhænger af, forbundet til de eksterne indgange på dette kredsløb, værdien af ​​en boolsk funktion dannes ved eksternt output fra kredsløbet, og hver logisk operation i et logisk et udtryk implementeres af et logisk element.

For hvert sæt af indgangssignaler ved udgangen af ​​det logiske kredsløb genereres et signal, der svarer til værdien af ​​en boolsk funktion af dette sæt af variabler (længere på, vil vi bruge følgende konvention: 0 — lavt signalniveau , 1 — højt signalniveau).

Når vi konstruerer logiske kredsløb, vil vi antage, at variablerne føres til input i en parafasekode (det vil sige, at både direkte og inverse værdier af variablerne er tilgængelige).

Tabel 1 viser de konventionelle grafiske betegnelser for nogle logiske elementer i overensstemmelse med GOST 2.743-91, såvel som deres udenlandske modstykker.

Ud over de elementer, der udfører de tre operationer af boolsk algebra (AND, OR, NOT), i tab. 1 viser de elementer, der udfører operationer afledt af de vigtigste:

— OG -IKKE — negation af logisk multiplikation, også kaldet Schaefer-træk (betegnet med |)

— ELLER -NOT — negation af logisk komplement, også kaldet Peirces pil (betegnet med?)

Ved serielt at forbinde logiske porte sammen, kan du implementere enhver boolsk funktion.

Strukturformler, der udtrykker relækredsløb generelt, dvs. indeholder symboler for reagerende ørne, kan ikke betragtes som funktioner af to værdier, der kun udtrykker lukket eller åbent kredsløb. Når man arbejder med sådanne funktioner, opstår der derfor en række nye afhængigheder, som går ud over grænserne for boolsk algebra.

I boolsk algebra er der fire par grundlæggende love: to forskydninger, to kombinatoriske, to distributive og to juridiske inversioner. Disse love etablerer ækvivalensen af ​​forskellige udtryk, det vil sige, de betragter udtryk, der kan erstatte hinanden som substitution af identiteter i almindelig algebra. Som et ækvivalenssymbol tager vi symbolet, der er det samme som lighedssymbolet i almindelig algebra (=).

Gyldigheden af ​​lovene i boolsk algebra for kontaktkredsløb vil blive fastslået ved at overveje kredsløb svarende til venstre og højre side af ækvivalente udtryk.

Rejselove

For at tilføje: x + y = y + x

Skemaet svarende til disse udtryk er vist i fig. 1, a.

Venstre og højre kredsløb er normalt åbne kredsløb, som hver lukker, når et af elementerne (X eller Y) udløses, det vil sige, at disse kredsløb er ækvivalente. Til multiplikation: x ·y = y ·NS.

Skemaet svarende til disse udtryk er vist i fig. 1b, er deres ækvivalens også indlysende.

Ris. 1

Love for kombination

Til addition: (x + y) + z = x + (y + z)

Til multiplikation: (x ·y) ·z = x ·(y ·z)

Parrene af ækvivalente kredsløb svarende til disse udtryk er vist i fig. 2, a, b

Ris. 2

Fordelingslove

Multiplikation versus addition: (x + y) +z = x + (y + z)

Addition vs Multiplikation. x ·y + z = (x + z) ·(y + z)

Skemaet svarende til disse udtryk er vist i fig. 3, a, b.

Ris. 3.

Ækvivalensen af ​​disse skemaer kan let verificeres ved at overveje forskellige kombinationer af kontaktaktivering.

Love for inversion

Ved addition: NS + c = NS·c

Søjlen over venstre side af udtrykket er et negations- eller inversionstegn. Dette tegn indikerer, at hele funktionen har den modsatte betydning i forhold til udtrykket under negationstegnet. Det er ikke muligt at tegne et diagram svarende til hele den omvendte funktion, men man kan tegne et diagram svarende til udtrykket under negativt fortegn. Således kan formlen illustreres med diagrammerne vist i fig. 4, a.

Ris. 4.

Det venstre diagram svarer til udtrykket x + y, og det højre til NS ·c

Disse to kredsløb er modsatte af hinanden i drift, nemlig: hvis det venstre kredsløb med uexciterede elementer X, Y er et åbent kredsløb, så er det højre kredsløb lukket. Hvis i det venstre kredsløb, når et af elementerne udløses, lukker kredsløbet, og i det højre kredsløb åbner det tværtimod.

Da funktionen x + y ifølge definitionen af ​​negativt fortegn er den inverse af funktionen x + y, så er det indlysende, at x + y = NS·in.

Angående multiplikation: NS · c = NS + c

De tilsvarende skemaer er vist i fig. 4, b.

Translokativ og kombination og love og den distributive lov om multiplikation med hensyn til addition (svarer til lignende love for almindelig algebra).Ved transformation af strukturformler i rækkefølgen af ​​addition og multiplikation af led, placering af led uden for parenteser og udvidelse af parentes kan man derfor følge de fastlagte regler for at arbejde med almindelige algebraiske udtryk. Den distributive lov om addition med hensyn til multiplikation og inversionslovene er specifikke for boolsk algebra.