Grundlæggende og love i logikkens algebra
Irsk matematiker fra midten af det 19. århundrede George Bull udviklede logikkens algebra ("Studie af tænkningens love"). Derfor kaldes logikkens algebra også boolsk algebra.
Ved at give bogstavbetegnelser, udtrykke operationerne af logiske transformationer i handlingssymboler og bruge de regler og aksiomer, der er etableret for disse handlinger, tillader logikkens algebra, at ræsonnementsprocessen ved løsning af et problem givet i form af udsagnslogik kan beskrives fuldt ud i algoritmer , altså at have et matematisk skrevet program, der løser dette problem.
For at angive sandheden eller falskheden af udsagn (det vil sige at indføre værdier til evaluering af udsagn), bruger logikkens algebra et binært system, praktisk i dette tilfælde. Hvis udsagnet er sandt, tager det værdien 1, hvis det er falsk, tager det værdien 0. I modsætning til binære tal udtrykker logiske 1'ere og 0'ere ikke en størrelse, men en tilstand.
Så i elektriske kredsløb beskrevet ved hjælp af boolsk algebra, hvor 1 er tilstedeværelsen af spænding og 0 er dens fravær, er forsyningen af spændinger fra flere kilder til en knude i kredsløbet (det vil sige ankomsten af flere logiske enheder af den) viser også som en logisk enhed, der ikke angiver den samlede spænding ved knudepunktet, men kun dens tilstedeværelse.
Når de logiske kredsløbs input- og outputsignaler beskrives, bruges variabler, der kun tager værdierne på logisk 0 eller 1. Afhængigheden af udgangssignalerne på input bestemmes logisk operation (funktion)… Lad os betegne inputvariablerne ved X1 og X2, og outputtet opnået ved en logisk operation på dem med y.
Overvej det tre grundlæggende elementære logiske operationer, ved hjælp af hvilke stadig mere komplekse kan beskrives.
1. ELLER-operation — logisk tilføjelse:
Givet alle de mulige værdier af variablerne, kan man definere ELLER-operationen som tilstrækkeligheden af mindst én enhed i inputtet til at producere en i outputtet. Navnet på operationen forklares af den semantiske betydning af foreningen OR i sætningen: «Hvis OR er én indgang ELLER den anden er én, så er udgangen én.»
2. Operation OG — logisk multiplikation:
Fra at overveje det fulde sæt af værdier af variablerne, er AND-operationen defineret som behovet for at matche alle dem på inputs for at få en en på outputtet: "Hvis AND er en input, og den anden er ener, så udgangen er én. «
3. Operation NOT — logisk negation eller inversion. Det er angivet med en streg over variablen.
Når den vendes, vendes værdien af variablen.
Grundlæggende love for logisk algebra:
1. Nulsættets lov: produktet af et vilkårligt antal variable forsvinder, hvis nogen af variablerne er nul, uanset værdierne af andre variable:
2. Loven om det universelle sæt — summen af et vilkårligt antal variable bliver én, hvis mindst én af variablerne har værdien én, uanset andre variable:
3. Loven om gentagelse — gentagne variabler i udtrykket kan udelades (med andre ord, der er ingen eksponentiering og multiplikation med en numerisk koefficient i boolsk algebra):
4. Loven om dobbelt inversion — inversionen udført to gange er en tom operation:
5. Lov om komplementaritet — produktet af hver variabel og dens inverse er nul:
6. Summen af hver variabel og dens gensidige er én:
7. Beskyttelseslove — resultatet af at udføre multiplikations- og additionsoperationer afhænger ikke af den rækkefølge, som variablerne følger:
8. Kombinerede love — under multiplikations- og additionsoperationer kan variable grupperes i vilkårlig rækkefølge:
9. Fordelingslove — det er tilladt at sætte den samlede koefficient uden for parentes:
10. Absorptionslovene — angive måder til at forenkle udtryk, der involverer en variabel i alle faktorer og termer:
11. De Morgans love — inversionen af produktet er summen af inversionerne af variablerne:
inversionen af summen er produktet af inversionerne af variablerne:
