Flow og cirkulation af et vektorfelt

NBaseret på Richard Feynmans forelæsningsmateriale

Når vi beskriver elektricitetens love i form af vektorfelter, står vi over for to matematisk vigtige træk ved vektorfeltet: flux og cirkulation. Det ville være rart at forstå, hvad disse matematiske begreber er, og hvad deres praktiske betydning er.

Den anden del af spørgsmålet er let at besvare med det samme, fordi begreberne flow og cirkulation er kernen i Maxwells ligninger, som al moderne elektrodynamik faktisk hviler på.

Så for eksempel kan loven om elektromagnetisk induktion formuleres som følger: cirkulationen af ​​det elektriske felt E langs en lukket sløjfe C er lig med ændringshastigheden af ​​fluxen af ​​magnetfeltet B gennem overfladen S afgrænset af denne sløjfe B.

I det følgende vil vi ganske enkelt beskrive, ved hjælp af klare flydende eksempler, hvordan feltkarakteristikaene er matematisk bestemt, hvorfra disse feltkarakteristika er taget og opnået.

Vector feltflux

Lad os til at begynde med tegne en bestemt lukket overflade af fuldstændig vilkårlig form rundt om det område, der undersøges. Efter at have afbildet denne flade spørger vi, om studieobjektet, som vi kalder et felt, flyder gennem denne lukkede flade. For at forstå, hvad dette handler om, skal du overveje et simpelt flydende eksempel.

Lad os sige, at vi undersøger hastighedsfeltet for en bestemt væske. For et sådant eksempel giver det mening at spørge: passerer mere væske gennem denne overflade pr. tidsenhed, end der strømmer ind i det volumen, der er afgrænset af denne overflade? Med andre ord, er udstrømningshastigheden altid rettet primært indefra og ud?

Ved udtrykket "vektorfeltflux" (og for vores eksempel vil udtrykket "fluidhastighedsflux" være mere nøjagtigt), vil vi blive enige om at nævne den samlede mængde imaginær væske, der strømmer gennem overfladen af ​​det betragtede volumen afgrænset af givet en lukket overflade (for væskestrømningshastigheden, hvor meget væske følger af volumen pr. tidsenhed).

Som et resultat vil fluxen gennem overfladeelementet være lig med produktet af overfladeelementets areal med den vinkelrette komponent af hastigheden. Så vil den totale (totale) flux over hele overfladen være lig med produktet af den gennemsnitlige normalkomponent af hastigheden, som vi vil tælle indefra og ud, ved det samlede overfladeareal.

Nu tilbage til det elektriske felt. Det elektriske felt kan selvfølgelig ikke betragtes som hastigheden af ​​strømmen af ​​en eller anden væske, men vi er berettiget til at introducere et matematisk koncept for strømmen, svarende til det, vi ovenfor beskrev som strømmen af ​​væskens hastighed.

Kun i tilfælde af et elektrisk felt kan dets flux bestemmes af den gennemsnitlige normalkomponent af den elektriske feltstyrke E. Derudover kan fluxen af ​​det elektriske felt bestemmes ikke nødvendigvis gennem en lukket overflade, men gennem en hvilken som helst afgrænset overflade af ikke-nul område S.

Cirkulation af et vektorfelt

Det er velkendt for enhver, at man for større overskuelighed kan afbilde felter i form af såkaldte kraftlinjer, hvor tangentens retning i hvert punkt falder sammen med feltstyrkens retning.

Lad os gå tilbage til væskeanalogien og forestille os væskens hastighedsfelt Lad os stille os selv et spørgsmål: cirkulerer væsken? Det vil sige, bevæger den sig primært i retning af en eller anden imaginær lukket sløjfe?

For større klarhed kan du forestille dig, at væsken i en stor beholder på en eller anden måde bevæger sig (fig. A), og vi frøs pludselig næsten hele dens volumen, men det lykkedes at lade volumenet stå ufrosset i form af et ensartet lukket rør, hvori der ikke er nogen friktion af væsken på væggene (fig. b).

Uden for dette rør er væsken blevet til is og kan derfor ikke længere bevæge sig, men inde i røret er væsken i stand til at fortsætte sin bevægelse, forudsat at der er et fremherskende momentum, som driver den for eksempel i urets retning (fig. .°C). Så vil produktet af væskehastigheden i røret og længden af ​​røret blive kaldt væskehastighedscirkulationen.

På samme måde kan vi definere en cirkulation for et vektorfelt, selvom feltet igen ikke kan siges at være hastigheden af ​​noget, vi kan alligevel definere den matematiske karakteristik af "cirkulation" langs en kontur.

Så cirkulationen af ​​et vektorfelt langs en imaginær lukket sløjfe kan defineres som produktet af den gennemsnitlige tangentielle komponent af vektoren i retningen af ​​løkkens passage - ved længden af ​​sløjfen.