En symbolsk metode til beregning af AC-kredsløb

En symbolsk metode til operationer med vektormængder er baseret på en meget simpel idé: hver vektor er opdelt i to komponenter: en vandret, der passerer langs abscissen, og den anden, lodret, passerer langs ordinaten. I dette tilfælde følger alle de vandrette komponenter en ret linje og kan tilføjes ved simpel algebraisk addition, og de lodrette komponenter tilføjes på samme måde.

Denne fremgangsmåde resulterer generelt i to resulterende komponenter, en vandret og en lodret, som altid støder op til hinanden i den samme 90° vinkel.

Disse komponenter kan bruges til at finde resultatet, det vil sige til geometrisk addition. De retvinklede komponenter repræsenterer benene i en retvinklet trekant, og deres geometriske sum repræsenterer hypotenusen.

Man kan også sige, at den geometriske sum numerisk er lig med diagonalen af ​​et parallelogram bygget på komponenterne såvel som på dets sider... Hvis den vandrette komponent er betegnet med AG og den lodrette komponent med AB, så er den geometriske sum ( 1)

At finde den geometriske sum af rette trekanter er meget lettere end skrå trekanter. Det er let at se, at (2)

bliver (1), hvis vinklen mellem komponenterne er 90°. Da cos 90 = 0, forsvinder det sidste led i det radikale udtryk (2), hvilket resulterer i, at udtrykket er meget forenklet. Bemærk, at et af tre ord skal tilføjes før ordet "sum": "aritmetisk", "algebraisk", "geometrisk".

Fig. 1.

Ordet "beløb" uden at specificere, hvilket fører til usikkerhed og i nogle tilfælde til grove fejl.

Husk, at den resulterende vektor er lig med den aritmetiske sum af vektorerne i det tilfælde, hvor alle vektorerne går langs en ret linje (eller parallelt med hinanden) i samme retning. Derudover har alle vektorer et plustegn (fig. 1, a).

Hvis vektorerne går langs en ret linje, men peger i modsatte retninger, så er deres resultat lig med den algebraiske sum af vektorer, i hvilket tilfælde nogle led har et plustegn og andre har et minustegn.

For eksempel i diagrammet i fig. 1, b U6 = U4 — U5. Vi kan også sige, at den aritmetiske sum bruges i tilfælde, hvor vinklen mellem vektorerne er nul, algebraisk, når vinklerne er 0 og 180°. I alle andre tilfælde udføres additionen vektorielt, det vil sige, at den geometriske sum bestemmes (fig. 1, c).

Eksempel... Bestem parametrene for den ækvivalente sinusbølge for kredsløbet Fig. 2, men symbolsk.

Svar. Lad os tegne vektorer Um1 Um2 og dekomponere dem i komponenter. Det kan ses på tegningen, at hver vandret komponent er vektorværdien ganget med cosinus af fasevinklen, og den lodrette er vektorværdien ganget med sinus af fasevinklen. Derefter

Fig. 2.

Det er klart, at de samlede vandrette og lodrette komponenter er lig med de algebraiske summer af de tilsvarende komponenter. Derefter

De resulterende komponenter er vist i fig. 2, b. Bestem værdien af ​​Um for dette, beregn den geometriske sum af de to komponenter:

Bestem den ækvivalente fasevinkel ψeq. Fig. 2, b, kan det ses, at forholdet mellem den lodrette og den vandrette komponent er tangenten til den ækvivalente fasevinkel.

hvor

Den således opnåede sinusoid har en amplitude på 22,4 V, en indledende fase på 33,5° med samme periode som komponenterne. Bemærk, at kun sinusbølger af samme frekvens kan tilføjes, fordi når man tilføjer sinuskurver med forskellige frekvenser, ophører den resulterende kurve med at være sinus, og alle begreber, der kun gælder for harmoniske signaler, bliver ugyldige i dette tilfælde.

Lad os endnu en gang følge hele kæden af ​​transformationer, der skal foretages med de matematiske beskrivelser af de harmoniske bølgeformer, når vi udfører forskellige beregninger.

Først erstattes de tidsmæssige funktioner af vektorbilleder, derefter dekomponeres hver vektor i to indbyrdes vinkelrette komponenter, derefter beregnes de vandrette og lodrette komponenter separat, og til sidst bestemmes værdierne af den resulterende vektor og dens indledende fase.

Denne beregningsmetode eliminerer behovet for grafisk at tilføje (og i nogle tilfælde udføre mere komplekse operationer, for eksempel multiplicere, dividere, udtrække rødder osv.) sinusformede kurver og ty til beregninger ved hjælp af formlerne for skrå trekanter.

Det er dog ret besværligt at beregne de horisontale og vertikale komponenter af operationen hver for sig.I sådanne beregninger er det meget praktisk at have sådan et matematisk apparat, hvormed du kan beregne begge komponenter på én gang.

Allerede i slutningen af ​​forrige århundrede blev der udviklet en metode, der tillader samtidige beregninger af tal plottet på indbyrdes vinkelrette akser. Tallene på den vandrette akse blev kaldt reelle, og tallene på den lodrette akse blev kaldt imaginære. Ved beregning af disse tal lægges en faktor på ± 1 til de reelle tal og ± j til de imaginære tal (læs "xi"). Tal, der består af reelle og imaginære dele kaldes kompleks, og metoden til beregninger udført med deres hjælp er symbolsk.

Lad os forklare udtrykket "symbolsk". De funktioner, der skal beregnes (harmoniske i dette tilfælde) er originaler, og de udtryk, der erstatter originalerne, er billeder eller symboler.

Når du bruger den symbolske metode, udføres alle beregninger ikke på originalerne selv, men på deres symboler (billeder), som i vores tilfælde repræsenterer de tilsvarende komplekse tal, da det er meget lettere at udføre operationer på billeder end på originalerne selv.

Når alle billedhandlinger er fuldført, optages originalen svarende til det resulterende billede på det resulterende billede. De fleste af beregningerne i elektriske kredsløb udføres ved hjælp af den symbolske metode.