Grafisk gengivelse af sinusformede værdier

I ethvert lineært kredsløb, uanset hvilken type elementer der indgår i kredsløbet, forårsager en harmonisk spænding en harmonisk strøm, og omvendt genererer en harmonisk strøm spændinger ved terminalerne af disse elementer også med en harmonisk form. Bemærk, at spolernes induktans og kondensatorernes kapacitans også antages at være lineær.

I et mere generelt tilfælde kan vi sige, at i lineære kredsløb med harmoniske påvirkninger har alle reaktioner også en harmonisk form. Derfor, i ethvert lineært kredsløb, har alle øjeblikkelige spændinger og strømme den samme harmoniske form. Hvis kredsløbet indeholder mindst et par elementer, så er der mange sinusformede kurver, disse timingdiagrammer overlapper hinanden, det er meget vanskeligt at læse dem, og undersøgelsen bliver ekstremt ubelejlig.

Af disse grunde udføres undersøgelsen af ​​processer, der forekommer i kredsløb under harmoniske påvirkninger, ikke sinusformede kurver, og ved hjælp af vektorer, hvis længder er taget i forhold til de maksimale værdier af kurverne, og de vinkler, hvor vektorerne er placeret er lig med vinklerne mellem origo af to kurver eller origo af kurven og origo.I stedet for tidsdiagrammer, som fylder meget, vises deres billeder i form af vektorer, det vil sige lige linjer med pile i enderne, og pilene for spændingsvektorer er vist skraverede, og for strømvektorer de efterlades uden skygge.

Sættet af vektorer af spændinger og strømme i et kredsløb kaldes vektor diagram… Reglen for at tælle vinkler i vektordiagrammer er denne: Hvis det er nødvendigt at vise en vektor, der halter efter startpositionen med en vinkel, så drej vektoren med uret med denne vinkel. En vektor, der er roteret mod uret, betyder fremskridt med den specificerede vinkel.

For eksempel i diagrammet i fig. 1 viser tre tidsdiagrammer med samme amplituder, men forskellige begyndelsesfaser... Derfor skal længderne af vektorerne svarende til disse harmoniske spændinger være de samme, og vinklerne skal være forskellige. Lad os tegne indbyrdes vinkelrette koordinatakser, tag den vandrette akse med positive værdier som start, i dette tilfælde skal vektoren af ​​den første spænding falde sammen med den positive del af den vandrette akse, vektoren af ​​den anden spænding skal roteres med uret med en vinkel ψ2, og den tredje spændingsvektor skal være mod uret. pile i en vinkel (fig. 1).

Længderne af vektorerne afhænger af den valgte skala, nogle gange tegnes de med en vilkårlig længde i overensstemmelse med proportionerne. Da maksimum- og rms-værdierne for alle harmoniske størrelser altid adskiller sig med det samme antal gange (i √2 = 1,41), så kan maksimum- og rms-værdierne plottes på vektordiagrammer.

Tidsdiagrammet viser værdien af ​​den harmoniske funktion til enhver tid ifølge ligningen ti = Um sin ωt. Et vektordiagram kan også vise værdierne på ethvert tidspunkt. For at gøre dette er det nødvendigt at repræsentere vektoren, der roterer i retning mod uret med en vinkelhastighed ω og tage projektionen af ​​denne vektor på den lodrette akse. De resulterende projektionslængder vil overholde loven ti = Um sinωt og repræsenterer derfor øjeblikkelige værdier på samme skala. Vektorens rotationsretning mod uret betragtes som positiv og med uret betragtes som negativ.

Fig. 1

Fig. 2

Fig. 3

Overvej et eksempel på bestemmelse af øjeblikkelige spændingsværdier ved hjælp af et vektordiagram. På højre side af fig. 2 viser et tidsdiagram og til venstre et vektordiagram. Lad den indledende fasevinkel være nul. I dette tilfælde, i øjeblikket t = 0, er den øjeblikkelige værdi af spændingen nul, og vektoren svarende til dette tidsdiagram falder sammen med den positive retning af abscisse-aksen, projektionen af ​​denne vektor på den lodrette akse i dette øjeblik er også nul, t .is længden af ​​projektionen matcher sinusbølgens øjeblikkelige værdi.

Efter tiden t = T / 8 bliver fasevinklen lig med 45 °, og den øjeblikkelige værdi Um sin ωt = Um sin 45 ° = = 0,707 Um. Men radiusvektoren i løbet af denne tid vil også rotere i en vinkel på 45 ° og projektionen af ​​denne vektor vil også blive 0,707 Um. Efter t = T / 4 vil den øjeblikkelige værdi af kurven nå U, men radiusvektoren roteres også med 90 °. Projektionen på den lodrette akse på dette punkt vil blive lig med selve vektoren, hvis længde er proportional med den maksimale værdi.Ligeledes kan du bestemme de aktuelle værdier til enhver tid.

Således reduceres alle operationer, der på den ene eller anden måde skal udføres med sinusformede kurver, til operationer, der udføres ikke med sinusoider selv, men med deres billeder, det vil sige med deres tilsvarende vektorer. For eksempel er der et kredsløb i fig. 3, a, hvor det er nødvendigt at bestemme den ækvivalente kurve for de øjeblikkelige spændingsværdier. For at opbygge en generaliseret kurve grafisk er det nødvendigt at udføre en meget besværlig operation med grafisk at tilføje to kurver fyldt med punkter (fig. 3, b). For analytisk at tilføje to sinusoider er det nødvendigt at finde den maksimale værdi af den ækvivalente sinusoid:

og den indledende fase

(I dette eksempel opnås Um eq lig med 22,36 og ψek = 33 °.) Begge formler er besværlige, ekstremt ubelejlige til beregninger, så i praksis bruges de sjældent.

Lad os nu erstatte de tidsmæssige sinusoider med deres billeder, det vil sige med vektorer. Lad os vælge en skala og tilsidesætte vektoren Um1, som halter bagud koordinaternes oprindelse med 30, og vektoren Um2, som har en længde, der er 2 gange større end vektoren Um1, og fremrykker koordinaternes oprindelse med 60° (fig. 3, c). Tegningen efter en sådan udskiftning er væsentligt forenklet, men alle beregningsformler forbliver de samme, da vektorbilledet af sinusformede mængder ikke ændrer essensen af ​​sagen: kun tegningen er forenklet, men ikke de matematiske relationer i den (ellers, udskiftning af tidsdiagrammer med vektor ville bare være ulovlig.)

Udskiftning af harmoniske størrelser med deres vektorrepræsentationer letter altså stadig ikke beregningsteknikken, hvis disse beregninger skal udføres i henhold til lovene for skrå trekanter. For drastisk at forenkle teknologien til beregning af vektormængder, en symbolsk beregningsmetode.